Евгений Анатольевич Дадонов родился 12 марта 1989 года в Челябинске. Воспитанник местного хоккейного клуба "Трактор". Профессиональную карьеру начал в 2006 году, подписав контракт с родной командой. Уже в 2007 году был задрафтован командой НХЛ "Флорида Пантерз", но продолжал выступать в Челябинске до 2009 года, после чего перебрался за океан.
К американскому хоккею привыкал в АХЛ, играя за команду "Рочестер Американс", но уже в конце 2009 года был включён в основной состав "Флориды Пантерз". В сезоне 2010/2011 Дадонов забросил свою первую шайбу в НХЛ, а также попал в конкурс "Суперскиллз" на Матче всех звёзд. Однако уже по ходу сезона 2011/2012 был обменян в "Каролину Харрикейнз", где так и не сыграл ни одного матча, ограничившись выступлениями за фарм-клуб команды.
В 2012 году Евгений Дадонов принял решение вернуться в КХЛ, подписав контракт с донецким "Донбассом", в составе которого отыграл два полных сезона. После расформирования донецкой команды подписал контракт с питерским СКА, в составе которого стал обладателем Кубка Гагарина сезона 2014/2015, установив новый рекорд по количеству заброшенных шайб в плей-офф - 15.
Прошёл через юниорскую и молодёжную сборную России, несколько раз завоёвывал награды на мировых первенствах. В национальную сборную России попал после Олимпиады в Сочи, сумев помочь команде стать чемпионом мира на турнире в Беларуси. На следующий год, в Чехии, стал серебряным призёром чемпионата мира, после чего как сборная проиграла в финале канадцам.